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## 简介

IMU 里的误差主要来源于以下三个部分：零偏，尺度因子和轴偏差。下面分别进行说明：

## 零偏和噪声 Bias & Noise

\begin{aligned} \tilde{\omega}(t) &= \omega(t) + b(t) + n(t) \\ \dot{b}(t) &= n_b(t) \end{aligned}


\begin{aligned} E(n(t)) &\equiv 0 \\ E(n(t_1)n(t_2)) &= \sigma^2\delta(t_1-t_2) \end{aligned}


\delta(t) = \left\{ \begin{aligned} +\infty \qquad t = 0 \\ 0 \qquad t\neq 0 \end{aligned} \right.


\begin{aligned} \frac{1}{\Delta t}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}{\tilde{\omega}}(t)dt &= \frac{1}{\Delta t}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}[\omega(t) + b(t) + n(t)]dt \\ \Rightarrow \tilde{\omega}(t_0+\Delta t)&= \omega(t_0 + \Delta t) + \frac{1}{\Delta t}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\left[b(t) + n(t)\right]dt \end{aligned}


\begin{aligned} n_d[k] \triangleq n(t_0 + \Delta t) &\approxeq \frac{1}{\Delta t}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}{n(\tau)}d\tau \\ E(n_d^2[k]) = \sigma_d^2 &= E\left(\frac{1}{\Delta t^2}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}{n(\tau)}n(t)d\tau dt\right) \\ 利用期望性质&= \frac{1}{\Delta t^2}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}E(n(\tau)n(t))d\tau dt \\ &= \frac{\sigma^2}{\Delta t^2}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\delta(t - \tau)d\tau dt \\ &= \frac{\sigma^2}{\Delta t^2}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t} 1 dt \\ &= \frac{\sigma^2}{\Delta t^2}(\Delta t) \\ \sigma_d^2 &= \frac{\sigma^2}{\Delta t} \end{aligned}


\begin{aligned} b(t_0 + \Delta t) &= b(t_0) + \int_{t_0}^{t_0+\Delta t}n_b(t)dt \\ E\{b^2(t_0 + \Delta t)\} &= E\left\{\left[b(t_0) + \int_{t_0}^{t_0+\Delta t}n_b(t)dt\right]\left[b(t_0) + \int_{t_0}^{t_0+\Delta t}n_b(t)dt\right]\right\} \\ &= E\left\{\left[b(t_0)^2 + 2b(t_0)\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}n_b(t)dt + (\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}n_b(t)dt)^2\right]\right\} \\ &= E{b(t_0)^2} + E\left\{2b(t_0)\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}n_b(t)dt\right\} + E\left\{(\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}n_b(t)dt)^2\right\} \\ &= E\{b(t_0)^2\} + 2b(t_0)\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}E\{n_b(t)\}dt + E\left\{(\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}n_b(t)dt)^2\right\} \\ &= E\{b(t_0)^2\} + E\{n_b(t)n_b(\tau))\} \\ &= E\{b(t_0)^2\} + \sigma_b^2\Delta t \end{aligned}


• 测量值本身的高斯白噪声，不确定度单位为：
• 角速度：$\mathrm{deg/(s^{3/2})}$，由角速度本身的单位除以 $\sqrt{s}$ 得到
• 加速度：$\mathrm{m/(s^{5/2})}$，由加速度的单位除以 $\sqrt{s}$ 得到
• 由零偏的一阶高斯白噪声积分得到的随机游走，不确定度单位为：
• 角速度：$\mathrm{deg/(s^{5/2})}$，由零偏的导数（角加速度）本身的单位乘 $\sqrt{s}$ 得到
• 加速度：$\mathrm{m/(s^{5/2})}$，由零偏的导数的单位乘 $\sqrt{s}$ 得到

• 零偏重复性：多次启动时，零偏不相等，因此会有一个重复性误差。在实际使用中，需要每次上电都重新估计一次。
• 零偏不稳定性：零偏随时间缓慢变化，其变化值无法预估，需要假定一个概率区间描述它有多大的可能性落在这个区间内，一般通过角速度/加速度随机游走来衡量不确定度的大小
• 速率斜坡：通常由于温度引起的零位变化，可以通过温度补偿进行消除

## 尺度因子 Scale errors

$$K^a = \begin{bmatrix} s_x^a & 0 & 0 \\ 0 & s_y^a & 0 \\ 0 & 0 & s_z^a \end{bmatrix}$$


$$K^g = \begin{bmatrix} s_x^g & 0 & 0 \\ 0 & s_y^g & 0 \\ 0 & 0 & s_z^g \end{bmatrix}$$


\begin{aligned} \boldsymbol{a}^O &= \boldsymbol{K}^a\boldsymbol{a}^S\\ \boldsymbol{\omega}^O &= \boldsymbol{K}^g\boldsymbol{\omega}^S \end{aligned}


## 轴偏差 Axis Misaligment

$$\boldsymbol{T} = \begin{bmatrix} 1 & -\beta_{yz} & \beta_{zy} \\ \beta_{xz} & 1 & -\beta_{zx} \\ -\beta_{xy} & \beta_{yx} & 1 \end{bmatrix}$$


\begin{aligned} \boldsymbol{a}^O = \boldsymbol{T}\boldsymbol{a}^O \\ \boldsymbol{\omega}^O = \boldsymbol{T}\boldsymbol{\omega}^O \end{aligned}


## 总结

\begin{aligned} \boldsymbol{a}^O &= \boldsymbol{T}^a\boldsymbol{K}^a(\boldsymbol{a}^S + \boldsymbol{b}^a + \boldsymbol{n}^a) \\ \boldsymbol{\omega}^O &= \boldsymbol{T}^\omega\boldsymbol{K}^\omega(\boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{b}^a + \boldsymbol{n}^a) \end{aligned}


## 参考资料

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