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## 前置知识

• 简单的圆周运动

\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{r}} &= (-a\dot{\sin{\theta}}, a\dot{\cos{\theta}}, 0)^\mathrm{T} \\ \mathrm{矩阵分解} &= \begin{bmatrix} 0 & -\dot{\theta} & 0\\ \dot{\theta} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\cos{\theta} \\ a\sin{\theta} \\ h \end{bmatrix} \\ &= \boldsymbol{w} \times \boldsymbol{r} = \boldsymbol{\omega}^\wedge\boldsymbol{r} \end{aligned}


$$|\dot{\boldsymbol{r}}| = |\boldsymbol{\omega}||\boldsymbol{r}|\sin{\phi}=a|\dot{\theta}|$$

• 圆周运动和匀速运动结合

\begin{aligned} \boldsymbol{p} &= (r(t)\cos{-\theta(t)}, r(t)\sin{(-\theta(t))}) \\ &= (r(t)\cos{(\theta(t))}, -r(t)\sin{(\theta(t))}) \end{aligned}

• 考虑坐标系之间的转换关系

\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{r}}^i &= \boldsymbol{R}_{ib}\dot{\boldsymbol{r}}^b + \dot{\boldsymbol{R}_{ib}}\boldsymbol{r}^b \\ 旋转矩阵求导&= \boldsymbol{R}_{ib}\dot{\boldsymbol{r}}^b + \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{\omega}^b_\times\boldsymbol{r}^b \\ 叉乘性质&= \boldsymbol{R}_{ib}\dot{\boldsymbol{r}}^b + (\boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{\omega}^b)_\times\boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{r}^b \\ 坐标转换 &= \boldsymbol{R}_{ib}\dot{\boldsymbol{r}}^b + (\boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{\omega}^b)_\times\boldsymbol{r}^i\\ \boldsymbol{v}^i &= \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{v}^b + \boldsymbol{\omega}_\times \boldsymbol{r}^i\\ \Rightarrow \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{v}^b &= \boldsymbol{v}^i - \boldsymbol{\omega}_\times \boldsymbol{r}^i \end{aligned}


\begin{aligned} \ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{a}^i &= \boldsymbol{R}_{ib}\dot{\boldsymbol{v}}^b + \dot{\boldsymbol{R}_{ib}}\boldsymbol{v}^b + (\boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{\omega}^b)'_\times\boldsymbol{r}^i + (\boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{\omega}^b)_\times\dot{\boldsymbol{r}^i} \\ &= \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{a}^b + \dot{\boldsymbol{R}_{ib}}\boldsymbol{v}^b + (\boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{\omega}^b)'_\times\boldsymbol{r}^i + \boldsymbol{\omega}_\times\boldsymbol{v}^i \\ &= \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{a}^b + \dot{\boldsymbol{R}_{ib}}\boldsymbol{v}^b +\boldsymbol{\omega}_\times(\boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{v}^b + \boldsymbol{\omega}_\times \boldsymbol{r}^i) + (\boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{\omega}^b)'_\times\boldsymbol{r}^i \\ 用 \boldsymbol{v} 表示 \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{v}^b &= \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{a}^b + \dot{\boldsymbol{R}_{ib}}\boldsymbol{v}^b +\boldsymbol{\omega}_\times(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\omega}_\times \boldsymbol{r}^i) + (\boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{\omega}^b)'_\times\boldsymbol{r}^i \\ &= \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{a}^b + \dot{\boldsymbol{R}_{ib}}\boldsymbol{v}^b +\boldsymbol{\omega}_\times(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\omega}_\times \boldsymbol{r}^i) + (\dot{\boldsymbol{R}}_{ib}\boldsymbol{\omega}^b + \boldsymbol{R}_{ib}\dot{\boldsymbol{\omega}}^b)_\times\boldsymbol{r}^i \end{aligned}


\begin{aligned} \ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{a}^i &= \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{a}^b + \dot{\boldsymbol{R}_{ib}}\boldsymbol{v}^b +\boldsymbol{\omega}_\times(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\omega}_\times \boldsymbol{r}^i) + (\boldsymbol{R}_{ib}\dot{\boldsymbol{\omega}}^b)_\times\boldsymbol{r}^i \\ &= \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{a}^b + \boldsymbol{\omega}_\times\boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{v}^b +\boldsymbol{\omega}_\times(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\omega}_\times \boldsymbol{r}^i) + (\boldsymbol{R}_{ib}\dot{\boldsymbol{\omega}}^b)_\times\boldsymbol{r}^i \\ &= \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{a}^b + \boldsymbol{\omega}_\times\boldsymbol{v} +\boldsymbol{\omega}_\times(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\omega}_\times \boldsymbol{r}^i) + \dot{\boldsymbol{\omega}}_\times\boldsymbol{r}^i \\ &= \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{\omega}_\times\boldsymbol{v} +\boldsymbol{\omega}_\times(\boldsymbol{\omega}_\times \boldsymbol{r}^i) + \boldsymbol{\alpha}_\times\boldsymbol{r}^i \\ \Rightarrow \boldsymbol{a} &= \boldsymbol{a}^i - 2\boldsymbol{\omega}_\times\boldsymbol{v} - \boldsymbol{\omega}_\times(\boldsymbol{\omega}_\times \boldsymbol{r}^i) - \boldsymbol{\alpha}_\times\boldsymbol{r}^i \\ \end{aligned}


• $\boldsymbol{v}^i$：物体相对于 i 系的速度
• $\boldsymbol{v}^b$: 物体相对于 b 系下的速度
• $\boldsymbol{v} = \boldsymbol{R}_{ib}\boldsymbol{v}^b$: 物体相对于 b 系的速度在 i 系下的表达，要和 $\boldsymbol{v}^i$ 区分开

• $2\boldsymbol{\omega}_\times\boldsymbol{v}$: 科式力，与 b 系角速度和物体速度有关，其方向与物体速度方向和 b 系角速度方向垂直。
• $\boldsymbol{\alpha}_\times\boldsymbol{r}^i$: 欧拉力，与 b 系角加速度和物体位置有关
• $\boldsymbol{\omega}_\times(\boldsymbol{\omega}_\times\boldsymbol{r}^i)$: 离心力，与 b 系角速度和物体位置有关

## IMU 测量模型和运动模型

### 加速度计工作原理

IMU 对于加速度的测量模型可以用一个质量块+弹簧+指示计模型来进行简化，如下图所示。

• 光纤陀螺

• 振动陀螺 MEMS

## IMU 误差模型

IMU 中加速度计和陀螺仪中的误差可以分为确定性误差和随机误差，其中确定性误差可以通过标定来确定其大小，而随机性误差则只能通过标定来判断其不确定度。

### 随机误差标定————艾伦方差标定

1. 保持传感器绝对静止
2. 对数据按时间进行分段，设定每个时间段的时长
3. 讲传感器数据按照时间段进行平均
4. 计算方差，绘制艾伦曲线

TODO；补充具体过程

## 参考资料

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